Convolución de distribuciones
Introducción
En estadística y probabilidad, convolucionar dos distribuciones es la forma correcta de responder a esta pregunta:
Si X y Y son variables aleatorias independientes, ¿cuál es la distribución de su suma Z=X+Y?
La respuesta no se obtiene sumando puntos, ni promediando curvas, sino mediante una convolución (el cual es un tema que por lo general se aborda en Ecuaciones Diferenciales). Intuitivamente, la convolución toma una distribución, la “desliza” sobre la otra y mide cuánto se superponen. Cada posible forma de obtener un mismo valor de Z contribuye a su probabilidad total.
Qué ocurre con estas distribuciones al convolucionar
Aunque la definición es general, cada familia de distribuciones tiene comportamientos característicos.
Uniforme + Uniforme La suma de dos variables uniformes no es uniforme. Produce una distribución triangular (o trapezoidal si los intervalos no coinciden). La incertidumbre empieza a concentrarse hacia el centro.
Triangular + Triangular La convolución suaviza aún más la forma. Aparecen distribuciones con perfiles poligonales de mayor orden, cada vez más parecidas a una campana de Gauss (Normal).
La aplicación permite ver estas transiciones de forma visual. Observe cómo curvas simples, al sumarse, se vuelven más suaves, más simétricas y más concentradas alrededor de un valor central.
- Relación con el Teorema de Límite Central
El TLC dice que, bajo ciertas circunstancias, que se dan normalmente en el mundo de la experimentación, la distribución muestral de la media tenderá a una distribución normal a medida que el número de componentes se haga más grande, con independencia de las distribuciones particulares de los componentes. Cuando se suman muchas variables aleatorias independientes (aunque no sean normales), estamos aplicando convoluciones una y otra vez.
Importancia en la metrología
Una medición real suele ser una suma de diferentes contribuciones:
Resolución del instrumento
Error del método
Variabilidad ambiental
Operador
Calibración
Cada una de estas fuentes puede modelarse como una variable aleatoria con su propia distribución, lo que justifica el uso extendido de la distribución normal en los informes de incertidumbre.
Instrucciones de uso
Este visualizador permite explorar la convolución de distribuciones continuas, es decir, cómo se combinan dos variables aleatorias independientes X y Y para obtener la distribución de su suma Z=X+Y. Primero seleccione una distribución para la variable X y una para la variable Y. Para cada variable, ajuste los parámetros correspondientes mediante los sliders.
El gráfico se actualiza automáticamente y muestra tres curvas:
La densidad de la variable X,
La densidad de la variable Y,
La densidad resultante de la suma Z = X + Y, obtenida mediante convolución.
Observe cómo cambian la forma, la dispersión y la concentración de la distribución resultante al modificar los parámetros. En particular, note cómo la suma de distribuciones no normales puede producir perfiles cada vez más suaves y simétricos, anticipando el comportamiento descrito por el Teorema del Límite Central.
El gráfico es interactivo: puede acercar o alejar regiones, desplazar el plano y descargar el gráfico en formato PNG. Al posar el cursor sobre las curvas se muestran los valores aproximados de la densidad.