Actualización bayesiana para estimación de tiempos
Introducción
En contextos de producción de alta variedad y bajo volumen (HMLV, por sus siglas en inglés) o en etapas tempranas de diseño de procesos, la recolección masiva de datos mediante muestreo de tiempos tradicional resulta costosa o inviable.
Frecuentemente, los métodos estadísticos clásicos-frecuentistas demandan tamaños muestrales considerables para ofrecer estimaciones estables (ley de los grandes números, TLC, entre otros). En su lugar, la estadística bayesiana ofrece un marco riguroso para incorporar la incertidumbre epistémica mediante el uso del criterio experto o información de procesos análogos (distribución previa o prior), combinándolo de forma óptima con unas cuantas observaciones empíricas (verosimilitud).
El modelo conjugado Normal-Normal
Cuando el tiempo de ciclo \(X\) posee una variabilidad de proceso \(\sigma^2\) conocida (o estimada empíricamente de la muestra), y el tiempo promedio esperado \(\mu\) posee una creencia previa descrita por una distribución Normal, la distribución posterior se resuelve de forma analítica exacta:
- Previa (Experto): \(\mu \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2)\), donde \(\mu_0\) representa el valor esperado por el experto y \(\sigma_0\) refleja su nivel de incertidumbre.
- Verosimilitud (Datos): \(X \mid \mu \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\). Para una muestra de \(n\) tiempos observados con media \(\bar{x}\), la función de verosimilitud de la media equivale a \(\mathcal{N}\left(\bar{x}, \frac{\sigma^2}{n}\right)\).
- Posterior: \(\mu \mid X \sim \mathcal{N}(\mu_p, \sigma_p^2)\), donde las precisiones (inversa de la varianza) se suman linealmente:
\[\frac{1}{\sigma_p^2} = \frac{1}{\sigma_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}\]
\[\mu_p = \sigma_p^2 \left( \frac{\mu_0}{\sigma_0^2} + \frac{n \cdot \bar{x}}{\sigma^2} \right)\]
Intervalo de Máxima Densidad Posterior (HDI)
El Intervalo de Máxima Densidad Posterior (HDI) representa el rango de menor amplitud que acumula la probabilidad deseada \((1-\alpha)\) sobre el parámetro \(\mu\). Al ser la distribución posterior simétrica (Normal), se calcula directamente mediante el cuantil \(z_{1-\alpha/2}\):
\[\text{HDI} = \mu_p \pm z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma_p\]
Instrucciones de uso
Esta herramienta interactiva permite evaluar la actualización de tiempos estándar ingresando tanto parámetros de previa sin restricciones de rango como datos crudos observados en planta.
- Previa (Experto): Ingrese cualquier valor para la media esperada (\(\mu_0\)) y la desviación estándar (\(\sigma_0\)).
- Muestra (Datos Crudos): Pegue o digite las observaciones directas de tiempo separadas por comas, espacios o saltos de línea.
- Desviación Estándar del Proceso (\(\sigma\)): Por defecto se calcula automáticamente a partir de los datos ingresados (\(s\)), pero puede ingresar manualmente un \(\sigma\) histórico conocido marcando la casilla correspondiente.
- Nivel HDI: Seleccione el porcentaje de credibilidad deseado para el intervalo posterior.