Variables aleatorias

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II-1120 Estadística para Ingeniería Industrial I

Steven García Goñi
steven.garciagoni@ucr.ac.cr

4 de marzo de 2026

Agenda

  • Preguntas generadoras
  • Variable aleatoria
    • Discreta
    • Continua
  • Distribución de probabilidad
    • Discreta
    • Continua
  • Esperanza y Varianza matemática

Preguntas generadoras

  • ¿Qué es una variable aleatoria?
  • ¿Para qué sirven las variables aleatorias?
  • ¿Qué es un parámetro?
  • ¿Qué es una función de masa/densidad?
  • ¿Qué es una función de distribución acumulada?
  • ¿Qué es la esperanza matemática?
  • ¿Cuáles son las propiedades de la esperanza y varianza matemática?

Introducción

  • El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados recolectados en un experimento a la función numérica de los resultados.
  • Existen dos tipos de variables aleatorias:
    • Discretas
    • Continuas
  • Una distribución de probabilidad proporciona toda la gama de valores que se pueden presentar en un experimento cuyos resultados se encuentran sujetos al azar.
  • Es similar a una distribución de frecuencias relativas, pero en lugar de describir, busca asignar probabilidades a los posibles resultados.

¿Para qué estudiarlas?

  • Prácticamente todo a nuestro alrededor tiene un comportamiento “aleatorio”.
  • Por ejemplo:
    • ¿Cuántos lanzamientos se necesitan para obtener “corona” en una moneda?
    • ¿Cuánto tiempo debe esperar a que llegue el ascensor/bus/Uber?
  • Conectado con la práctica de la ingeniería: control de calidad, tiempos de espera, inventarios, confiabilidad… cada decisión bajo incertidumbre implica una variable aleatoria, aun cuando esta no se mencione explícitamente.
  • La teoría de la probabilidad es la herramienta matemática que nos permite analizar los eventos aleatorios de manera estructurada.

Variable aleatoria

  • Es una función \(X: S \rightarrow \mathbb{R}\), aun cuando lleve el nombre de variable, que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

    • Cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo codominio es el conjunto de números reales.

    • Tampoco es aleatoria, pues está completamente definida por la función.

  • La semántica detrás del concepto variable aleatoria viene arraigada a la idea clásica de que depende del resultado de un experimento que es aleatorio.

  • La aleatoriedad no está en la función, sino en el resultado del experimento.

Variable aleatoria

  • Las variables aleatorias pueden ser valores “reales”, como la longitud de un borrador, el espacio entre máquinas en una fábrica; o “ficticias”, como la codificación de 1 como bueno y 0 como malo en un producto.

  • Es un modelo matemático que describe o intenta describir los resultados, usualmente de manera numérica, de un evento cuyos resultados se deben al azar.

  • Es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en \(S\).

Variable aleatoria

Discreta

  • Cuando la variable puede tomar un número finito de posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existen.
  • En simple:
    • Cuando sí se puede contar su conjunto de valores posibles.
  • Ejemplo:
    • Artículos defectuosos
    • Número de accidentes
    • Cantidad de monedas en una cartera

Continua

  • Cuando puede tomar un número infinito (no numerable) de posibilidades, igual al número en un segmento de recta.
  • En simple:
    • Cuando puede tomar valores en una escala continua.
  • Ejemplo:
    • Peso
    • Altura
    • Temperatura

Anotación importante

  • Esta aproximación práctica es generalmente válida, no obstante, hay aplicaciones en las que el instrumento de medición, aún cuando mida una variable continua, por su resolución, produce resultados discretos.

  • Por ejemplo, medir un proceso que produce resultados muy consistentes y precisos con un instrumento “incorrecto” va a generar una variable discreta:

    • El peso de las nueces en una ensalada que podemos comprar en un supermercado debe ser de 50 g.
      • Medir ese peso con una balanza que marca cada 5 g va a producir resultados discretos.
      • Medirlo con una balanza que marca cada 0.1 g produce resultados más cercanos a una variable continua.

  • A menudo, lo “continuo” responde a un modelo “idealizado”. El carácter discreto o continuo no es una propiedad física del fenómeno, sino del modelo que se busca construir.

Una simplificación de los términos

Variables discretas

  • Si los resultados son conteos

    • Valor del lanzamiento de un dado
    • Valor del lanzamiento de una moneda
    • Cantidad de personas en una fila
    • Número de intentos de una persona para obtener la licencia de conducir

Variables continuas

  • Si los resultados son mediciones

    • Tiempo de supervivencia de un electrodoméstico
    • Medición del peso en una balanza
    • Energía producida por una turbina eólica
    • Distancia recorrida por un avión de papel

Distribución de probabilidad

Concepto

  • Es la lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.
    • La probabilidad de un resultado particular se encuentra entre 0 y 1, ambos inclusive.
    • Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
    • La lista es exhaustiva
      • Es decir, la suma de las probabilidades es igual a 1.0

Notación importante

  • Función de masa (pmf) /densidad (pdf) \(\rightarrow f(x)\)

  • Función de distribución acumulada (cdf) \(\rightarrow F(x)\)

  • Esperanza matemática \(\rightarrow E(x)\)

  • Varianza matemática \(\rightarrow V(x)\)

  • Recuerde además: en el contexto de las distribuciones de probabilidad, los parámetros se emplean para describir el comportamiento de los datos. Nosotros buscamos aproximar esos parámetros a partir de muestreo, es decir, mediante estimadores

Importante

  • Ojo, son las distribuciones las que se ajustan a los datos y nunca los datos a las distribuciones.
    • Cuide el vocabulario técnico correcto.
  • Entonces, si una distribución cualquiera NO se ajusta a un conjunto de datos, es la distribución la que no “sirve” como modelo, no los datos.
    • Nota: Esto bajo la consideración de que la forma en que se recolectaron los datos y la cantidad de los mismos son adecuados.
  • ¿Podemos suponer que el pie (datos) está mal? ¿O escogimos mal el zapato (distribución)?

Ejemplo

  • Vamos a generar una distribución de probabilidad (recuerde que es similar a una distribución de frecuencias relativas).
  • Se supone que la probabilidad de obtener “escudo” en una moneda es 0.50.
  • Todas las personas presentes:
    • Lancen una moneda 3 veces, ¿cuántos escudos obtuvieron?
  • Complete la tabla del siguiente slide en conjunto con la persona docente y las demás personas estudiantes.
  • Complete también el gráfico, dibujando los resultados obtenidos en el cuadro.

Ejemplo

Número de escudos \(x_i\) Probabilidad (teórica) Cantidad de estudiantes que sacaron \(x_i\) escudos Probabilidad (práctica)
0 0.125
1 0.375
2 0.375
3 0.125

Ejemplo

  • Si la probabilidad práctica NO se parece o se asemeja a la probabilidad teórica, puede ser que le falte tamaño de muestra.
    • Es decir, la cantidad de estudiantes no es suficiente. Esto se asocia con la ley de los grandes números que se estudiará posteriormente.

Ejemplo

  • Finalmente, el ejemplo desarrollado es una distribución Binomial (tema de la clase de distribuciones discretas). No se necesita lanzar \(x_\infty\) para obtener las probabilidades, solo necesita conocer o estimar el parámetro que describe esta distribución, en este caso \(n:\) cantidad de lanzamientos, que fueron 3 y \(p:\) probabilidad, que es 0.5.

  • \(P(x_i)=\frac{n!}{x_i!(n-x_i)!}p^{x_i}(1-p)^{n-x_i}\)

  • Es decir:

    • \(P(0)= \frac{3!}{0!(3-0)!}0.5^0(1-0.5)^{3-0}=0.125\)

  • Resuelva para \(1, 2, 3\)

Distribución de probabilidad discreta

  • Es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles valores numéricos para una variable aleatoria tal que una probabilidad de ocurrencia específica se asocia con cada resultado.

  • Cuando la distribución es discreta, la función suele recibir el nombre de función de masa.

  • La función de masa \(f(x)\):

    • Es estrictamente no negativa \(f(x) \ge 0\)
    • La suma de las probabilidades de todos sus eventos es igual a 1 \(\sum_{i=1}^{n} f(x)=1\)
    • La probabilidad de un evento \(x\) es igual al resultado de la función de masa \(P(X=x_i)=f(x_i)\)

Distribución de probabilidad discreta

  • La función de distribución acumulada \(F(x)\):
    • Es la sumatoria de la función de masa desde el valor mínimo hasta un valor particular de interés \(F(X_i)=P(X\le x_i) = \sum f(x)\)
    • Por ejemplo, \(F(1) = f(0)+f(1)\)
      • Resuelva \(F(1)\) para el ejemplo de las monedas
    • Note que \(F(x)\) es siempre NO decreciente.

Sigamos el ejemplo

Distribución de probabilidad continua

  • Por definición, tiene una probabilidad de 0 (cero) de adoptar exactamente cualquiera de sus valores. Por tanto, su distribución no se puede representar, fácilmente, de forma tabular directa.

    • Al ver la fórmula más adelante se comprenderá mejor. Pero requiere conocimientos básicos de cálculo integral.

  • En este caso suele recibir el nombre de función de densidad.

  • La función de densidad \(f(x)\):

    • Es no negativa \(f(x) \ge 0\) para toda \(x \in \mathbb{R}\)
      • La integral en exactamente un punto es siempre 0, por eso la definición anterior.
    • La integral de \(-\infty\) (o el valor de inicio) hasta \(\infty\) o el valor final es igual a 1 \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1\)
    • La probabilidad se obtiene por intervalos \(F(x) = P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x)dx\)

Distribución de probabilidad continua

  • La función de distribución acumulada \(F(x)\):
    • Es la integral de la función de densidad desde el valor mínimo hasta un valor particular de interés \(F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt\)
    • \(F(x)\) es siempre no decreciente

Esperanza y varianza matemática

Esperanza matemática

  • La media \(\mu\) de una distribución de probabilidad recibe el nombre de valor esperado (Esperanza matemática).
  • Se trata de un promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrir.
  • \(E(x)=\mu=\sum x_i \cdot f(x_i)\)

Varianza matemática

  • Como se sabe del tema de descripción de datos, la media constituye un valor típico para resumir datos. Sin embargo, no describe el grado de dispersión (variación o variabilidad) en una distribución. La varianza sí lo hace. Por lo que hay una medida del valor esperado de esta variación.

  • \(V(x) = \sigma^2 = \sum (x_i-\mu)^2 \cdot f(x_i)\)

Continuemos el ejemplo de las monedas

  • Verifique que el valor de
    • \(E(x) = 1.5\)
    • \(V(x) = 0.75\)

Para distribuciones continuas

  • \(E(x) = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\)
  • \(V(x) = \sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \cdot f(x)\)

Propiedades de la esperanza

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}(aX + b) &= a\mathbb{E}(X) + b \\ \mathbb{E}(aX) &= a\mathbb{E}(X) \\ \mathbb{E}(b) &= b \\ \mathbb{E}(X \pm Y) &= \mathbb{E}(X) \pm \mathbb{E}(Y) \\ \mathbb{E}(XY) &= \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \quad \text{si } X \text{ e } Y \text{ son independientes} \end{aligned} \]

Propiedades de la varianza

\[ \begin{aligned} \mathrm{V}(aX + b) &= a^2 \mathrm{V}(X) \\ \mathrm{V}(aX) &= a^2 \mathrm{V}(X) \\ \mathrm{V}(b) &= 0 \\ \mathrm{V}(X + Y) &= \mathrm{V}(X) + \mathrm{Var}(Y) \quad \text{si } X \text{ e } Y \text{ son independientes} \\ \mathrm{V}(aX + bY) &= a^2 \mathrm{V}(X) + b^2 \mathrm{V}(Y) \quad \text{si } X \text{ e } Y \text{ son independientes} \end{aligned} \]

Ejemplos finales

  • Se muestran dos ejercicios tomados del material de la Inga. Valentina Campos Aguilar.

Ejemplo 01

  • Una empresa de confección de telas produce en promedio 580 metros al día y el promedio de manchas por cada metro de tela es de 0.75. Estas variables se consideran independientes. Obtenga el promedio de manchas por día.
  • Resuelva con las propiedades anteriores. La respuesta correcta es 443 \(\frac{manchas}{día}\)

Ejemplo 02

  • Una persona compra un “six pack” de cervezas de 350 mL, se sabe por el fabricante que la varianza de cada lata es de 9 mL. ¿Cuál es la varianza del “six pack”?

  • Resuelva con las propiedades anteriores. La respuesta correcta es 54 \(mL^2\).

  • Si en lugar de un six pack la persona compra una sola lata gigante que es exactamente 6 veces el contenido de una pequeña:

  • Resuelva con las propiedades anteriores. La respuesta correcta es 324 \(mL^2\).

Actividad lúdica (Enlace)

Bibliografía

  • Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S. y Ye, K. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9na Edición).
    • Capítulo 3 y 4
  • Lind, D.; Marchal, W. y Watchen, S. Estadística aplicada a los Negocios y la Economía (15va Edición).
    • Capítulo 6
  • Devore, J. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias (7ma Edición).
    • Capítulo 3
  • Levine, D.; Krehbiel, T.; Berenson, M. Estadística para administración (4ta Edición).
    • Capítulo 5

Variables aleatorias
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Gracias por su atención
Steven García Goñi
steven.garciagoni@ucr.ac.cr

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